冪等
数学において、 冪等性（べきとうせい、 英: idempotence 「巾等性」とも書くが読み方は同じ）は、大雑把に言って、ある操作を1回行っても複数回行っても結果が同じであることをいう概念である。まれに 等冪（とうべき）とも。 抽象代数学、特に射影（projector）や閉包（closure）演算子に見られる特徴である。"idempotence" という単語は ラテン語の "idem"（同じ=same）と"potere"（ 冪=power）から来ている。 主に以下の2つの定義が使われている。 二項演算において、自分自身にその二項演算を施したときに（例えば N * N）、結果が自分自身となるようなものを冪等である、または冪等元という。例えば、実数の乗算で冪等な数は 0 と 1 だけである。 単項演算（関数）において、その演算を行った結果に同じ演算を行っても結果が変わらない場合に冪等であるという。例えば、実数から整数への関数である床関数は冪等である。この単項演算における冪等の定義は、上記の二項演算のときの定義の特殊例である（後述）。 を満たすとき（"*" に関して） 冪等（べきとう、idempotent）であるという。特に、任意の 中立元は冪等である。 S の全ての元が冪等である場合には、その二項演算 "*" は冪等（演算）であるという。例えば、集合の 結びと 交わり はどちらも冪等演算である。 を満たすとき、 f は冪等であるという。これは 写像の合成を "o" としたとき、 f o f = f が成り立つことと等価である。つまり、 X 上の冪等単項演算とは、 X からそれ自身への写像全体のなす集合 X X における、合成
